为什么离散时间信号的频谱是周期的？

给你附个图。其实是根据傅里叶变换进行公式推导出来的结果，我给你附的图

           时域           频域

第一对：连续非周期    非周期，连续

第二对：连续周期      非周期，离散

第三对：离散非周期    周期，连续

第四对：离散周期      周期，离散

一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。我们上课的时候不要求会公式推导，所以不能给你一个严谨的公式推导了。对不起哈 

貌似你的时间t并不是离散的~~当t是离散，间隔为1s的时候，sin（t）的傅里叶变换应该是一个周期为2π的函数

从fourier级数说起：
fourier级数是说：任何一个周期函数f(x)，可以展开成一系列正弦和余弦函数的和，这些正弦函数和余弦函数的周期是离散的，其角频率与f(x)的周期有关。
（好像是(1/T)的整数倍吧，不记得了）。
我们把fourier级数的原函数x换成t，赋予其物理意义，看成是“时域”，把级数展开式的变量w也赋予其物理意义，看成是“频域”。
于是傅里叶级数就说明：“时域周期，则频域离散”
从fourier变化对可疑看出，时域和频域是对等的关系，所以有“时域离散，则频域周期”
其实信号处理的傅里叶变换理论也正是由此而来的。