证明数列x1=√6，x2=√(6+√6)……的极限存在，并求极限值！

新年好！Happy Chinese New Year ！

楼主的问题，不是如何计算该极限的问题，而是涉及另外两个问题：

第一个是数学中经常出现的recuring、reduction的问题.
这类问题的最大特色是重复性，楼主的一连串的根号就是属于这类问题，
积分公式中的递推公式也是属于这类，迭代法解方程也是属于此类问题。

第二个是归纳法induction的问题
上面提到的问题中，经常要用到归纳法证明。讲归纳法的书很多，绝大
多数的书，都是乱起哄，根本涉及不到归纳法的实质，只是花拳绣腿地
举出一些证明题，而归纳的思想丝毫丝毫没有。

我们平时的数学推理都是属于演绎型的，递推，一层层推进，推到哪步算
哪步，推到哪结论就下到哪。而归纳法则不一样，它的结果，可能是经验
式的empirical，也可能是猜测性的proposed,assumed，也可以是从其他
理论得到的，它只是事后诸葛亮式是验证verification，inspection，cheking，
等等。

归纳的过程，是以守为攻。只是验证一个最简单的例子，然后就假设所有
的case都成立。只要能从第一个case推广到第二个case就算全部成功。也就
是第k个case成立，第k+1个case就成立。k=1，就推到了k=2；从k=2就推到
了k=3、、、、。

楼主好好琢磨琢磨，就能登堂入室，就会超过千千万万的三脚猫教师。加油吧！
要超过绝大多数中学教师、大学教师，三五年足够足够！加油！

这是归纳证明法，必须要假设N=K成立。