不定方程的特殊方法

定义1. 形如 ax + by = c ( a，b，c∈Z，a，b不同时为零）的方程称为二元一次不定方程。
定理1. 方程 ax + by = c 有解的充要是 ( a,b ) | c；
定理2. 若（ a,b ) = 1，且 x_0，y_0为 ax + by = c 的一个解，则方程的一切解都可以表示成
定理3. n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c，（ a_1，a_2，…a_n，c∈N ）有解的充要条件是：（ a_1，a_2，…a_n ) | c.
方法与技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求 ax + by = c 一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2．解n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c 时，可先顺次求出 ( a_1，a_2 ) = d_2，（ d_2，a_3 ) = d_3，…，（ d_(n-1），a_n ) = d_n. 若c不能被 d_n 整除，则方程无解；若c可以被 d_n 整除，则方程有解，作方程组：
求出最后一个方程的一切解，然后把 t_(n-1) 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m个n元一次不定方程组成的方程组，其中 m < n，可以消去 m-1 个未知数，从而消去了 m-1 个不定方程，将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。 1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；
2．同余法：如果不定方程 F( x_1，x_2，…，x_n ) = 0 有整数解，则对于任意 m∈N，其整数解 ( x_1，x_2，…，x_n ) 满足 F( x_1，x_2，…，x_n ) ≡ 0 ( modm ），利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；
3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；
4．无限递降法：若关于正整数n的命题 P(n) 对某些正整数成立，设 n_0 是使 P(n) 成立的最小正整数，可以推出：存在正整数n，使得 n_1 < n_0 成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 1．利用分解法求不定方程 ax + by = cxy ( abc≠0 ）整数解的基本思路：
将 ax + by = cxy 转化为 (x - a)(cy -b) = ab 后，若 ab 可分解为 ab = a_1b_1 = a_2b_2 =…= a_ib_i∈Z，则解的一般形式为，再取舍得其整数解；
2．定义2：形如的 x^2 + y^2 = z^2 的方程叫做勾股数方程，这里x，y，z为正整数。
对于方程 x^2 + y^2 = z^2 ，如果 (x，y) = d，则 d^2|z^2，从而只需讨论 (x，y) = 1 的情形，此时易知x，y，z两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程满足条件 2|y 的一切解可表示为：
其中 a > b > 0，（a，b) = 1， 且a，b为一奇一偶。
推论：勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为：
|其中 a > b > 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d是一个整数。
勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。
3．定义3.方程 x^2 - dy^2 = ±1，±4 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数） 是 x^2 - dy^2 = c 的一种特殊情况，称为沛尔（Pell）方程。
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 x^2 - dy^2 = c 的研究，其中c，d都是整数，d > 0 且非平方数，而 c ≠ 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解（x，y），则称使 x + yd^0.5 的最小的正整数解为它的最小解。
定理4.Pell方程 x^2 - dy^2 = 1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）必有正整数解，且若设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示成：
上面的公式也可以写成以下几种形式：
定理5.Pell方程x^2 - dy^2 = -1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示为
|定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程 x^n + y^n = z^n (n≥3且为整数）无正整数解。
费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。