不定式to后面的名词用加冠词吗

live up to 在这里是个固定短语。
to 在这里是介词。 介词后面一般接名词，代词， 动名词。。。“作宾语”
这里接的就是名词粗组“她的期望值”

全句意为：“每当他没能达到她的期望值时， 他母亲都会很失望”

短语 见下：
live up to
达到高标准; 不辜负
I try to live up to the high standard of the school.
我力求达到这所学校的高标准要求。
He has lived up to the hopes of his father.
他的所作所为没有辜负父亲的期望。
实行; 履行
One ought to live up to what he knows to be right.
自己认为是对的, 就应该在生活中去实践。
They have truly lived up to their pledge.
他们确实照他们的誓言做了。

这个动词不定式无关，而是与名词的用法有关。普通名词的customer要么用不定冠词a，要么用定冠词the，你不用冠词就是错误的。

不定式是非谓语动词的一种形式，基本结构为to do。冠词是英语中置于名词前的一种虚词，只有三个a,an,the。及物动词是可以直接接宾语的动词，不及物动词则不可以直接接宾语。问题太多了。无法一一细讲，更详细的用法你可以参考