已知向量a与向量b不共线，且|a+2b|=|2a+b|（向量），求证a+b垂直于a-b

解答：
向量a+b与2a-b垂直
则：（a+b）（2a-b）＝0
即：2a²+ab－b²＝0．．．．①
a-2b与2a+b也垂直
则：（a－2b）（2a－b）＝0
即：2a²－3ab－2b²＝0．．．．②
由①，②联立，可解得：
b²＝－4ab，
ab＝-b²/4
代入①可得：a²＝5ab/2
ab＝2a²/5
∴-b²/4＝2a²/5
∴a²＝－5b²/8
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝a*b/｜a｜｜b｜
＝（-b²/4）/根号（5b²/8
*
b²）
＝-2/5.
a与b的夹角的余弦值为-2/5.

|a+2b|=|2a+b|
(a+2b)^2=(2a+b)^2
a^2+4ab+4b^2=4a^2+4ab+b^2
所以a^2=b^2
而(a+b)(a-b)=a^2-b^2=0
所以a+b垂直于a-b

原式=(a+2b)的平方=(2a+b)的平方a的平方+4b的平方+4ab=4a的平方+4ab+b的平方，化简得a的平方=b的平方……
因为a+b垂直于a-b，所以(a+b)(a-b)=0,平方差公式得a的平方=b的平方。所以…………………………

∵|a＋2b|=|2a＋b|
∴|a＋2b|^2=|2a＋b|^2
得a^2=b^2,
∴(a＋b)*(a-b)=a^2-b^2=0
又a与b不共线
∴a＋b⊥a-b