一道高中数学几何题（急）（追加200分）

证明：如图所示，延长AD至H，使DH=DG，连接BH、CH

由于D是BC中点，又是GH中点，因此，四边形CGBH为平行四边形

于是有：GF‖BH，则AF/FB=AG/GH；GE‖CH，则AE/EC=AG/GH

所以，AE/EC=AG/GH=AF/FB

因此，EF‖BC

纯平面几何的方法不会，下面引入一个比较巧妙的方法，这需要你有一定的解析几何的知识！
以CB为x轴，D点为原点建立直角坐标系，设A、B、C的坐标为(s,t),(r,0),(-r,0)

很显然中线AD的方程可以用y=tx/s来描述，取AD上任一点O(a,ta/s)

那么BO的方程可以求出，BO:y=atx/sk(a-r)-atr/sk(a-r)

同理可求出CO的方程为y=atx/sk(a+r)+atr/sk(a+r)

由于A、B、C的坐标可以很轻松的求出AB、AC的方程分别为
AB:y=tx/(s-r)-tr/(s-r)
AC:y=tx/(s+r)+tr/(s+r)

联列BO、AC的方程即可解出E点的纵坐标，解得如下：
Ye=(-atr-ar)/(ask-rsk-as-ar)
同理解得F点的纵坐标为
Yf=(ar+atr)/(ask+rsk-as+ar)

要使得EF平行于BC，就必须使得Ye=Yf

很显然此处的Ye、Yf是不相等的，而且分别是a的函数

可见平行与否取决于a的值，也就是取决于O的位置

故而不能证明它们总是平行！

CD/DB=S△ACD/S△ABD=S△0CD/S△0BD=(S△ACD-S△0CD)/(S△ABD-S△OBD)=S△ACO/S△ABO

同理，BF/FA=S△CB0/S△AC0
AE/EC=S△ABO/S△CBO

三式相乘：(CD/DB)*(BF/FA)*(AE/EC)=1

又D是BC的中点，所以，CD/DB=1

所以，(BF/FA)*(AE/EC)=1

即AE/EC=AF/FB

所以，EF‖BC（平行线截线段成比例）

赛瓦定理：(AE/EC)*(CD/DB)*(BF/AF)=1
而CD/DB=1
所以AE/EC=AF/FB
即EF平行于BC
赛瓦定理：若DEF分别在AB\BC\CA上，且AE\BF\CD共点，则：(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/AF)=1