①∵f（x）=
，x∈（-1，1），x |x|?1
∴f（-x）=
=-?x |x|?1
=-f（x），x∈（-1，1），x |x|?1
即函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴①正确．
②∵f（x）=
，x∈（-1，1）为奇函数，x |x|?1
∴|f（x）|为偶函数，
当x=0时，|f（0）|=0，
∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴②错误．
③当x∈[0，1）时，f（x）=
=x |x|?1
＝x x?1
＝1+x?1+1 x?1
≤0，为减函数．1 x?1
当x∈（-1，0]时，f（x）=
=x |x|?1
＝x ?x?1
＝?1+x+1?1 ?x?1
≥0，为减函数．1 x+1
综上函数f（x）在（-1，1）上为单调函数，且单调递减，
∴?x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，即③正确．
④由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，
又∵函数f（x）为奇函数，且在（-1，1）上单调递减，
∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点，如图：
∴④正确．
故①③④正确．
故选：C．
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