（I） 由题得：
＝2t， dx dt
＝4?2t，dy dt
∴
＝dy dx
＝
dy dt
dx dt
＝4?2t 2t
?1，2 t
＝
d2y dx2
?d(
)dy dx dt
＝(?1
dx dt
)?2 t2
＝?1 2t
＜0 (t＞0)1 t3
∴曲线L在t≥0是凸的．
（II）过点（-1，0）的切线方程为y?0＝(
?1)(x+1)，2 t
设x0
+1，y0＝4t0?
＝t
，
t
则 4t0
＝(
?t
?1)(2 t0
+2)，
t
∴4
?
t
＝(2?t0)(
t
+2)，
t
有
+t0?2＝0，
t
∴（t0-1）（t0+2）=0，
∵t0＞0，
∴t0=1，
于是切点的坐标为A（2，3），切线方程为y=x+1．
（III）设曲线L的方程x=g（y）
由：t2-4t+y=0，
解得：t＝2±
，
4?y
从而：x＝(2±
)2+1，
4?y
由于点A（2，3）在曲线L上，∴y=3时，x=2，
可知：x＝(2?
)2+1＝g(y)，可得：切线、曲线L、x轴之间围成的图形如右所示，其中B、C的坐标为：（-1，0）和（1，0）
4?y
所以平面图形的面积
[(g(y)?(y?1))]dy，
S＝∫
则 S＝
[(9?y?4
∫
)?(y?1)]dy
4?y
(10?2y)dy?
＝∫
4∫
dy
4?y
=(10y?y2)
+4
|
∫
d(4?y)
4?y
=21+4×
×(4?y)2 3
3 2
|
=
7 3
简单分析一下，答案如图所示
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