13问答网 > 正项数列{a n }，其前n项和为S n 并且满足：a n+1 2 -a n 2 =2 n （S n+1 -S n +a n ）且a 1 =1，n∈N*

正项数列{a n }，其前n项和为S n 并且满足：a n+1 2 -a n 2 =2 n （S n+1 -S n +a n ）且a 1 =1，n∈N*

2025-04-27 17:57:28

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回答1：

（I）∵a_n+1 ² -a_n ² =2ⁿ （S_n+1 -S_n +a_n ）且a₁ =1，n∈N*．
∴（a_n+1 -a_n ）（a_n+1 +a_n ）=2ⁿ （a_n+1 +a_n ），
∴a_n+1 -a_n =2ⁿ ，
∴a_n =a₁ +（a₂ -a₁ ）+（a₃ -a₂ ）+…+（a_n -a_n-1 ）
=1+2+2² +…+2^n-1
=2ⁿ -1．
（II） b n =

a n

a n+1

2 n -1

2 n+1 -1

，此数列是增数列．用数学归纲法证明如下：
（1） b 2 - b 1 =

2 2 -1

2 3 -1

＞0 ，∴b₂ ＞b₁ ．
（2）假设b_k ＞b_k-1 ，即

2 k -1

2 k+1 -1

2 k-1 -1

2 k -1

＞0 ，
则

2 k+1 -1

2 k+2 -1

2 k -1

2 k+1 -1

2? 2 k -1

2? 2 k+1 -1

2? 2 k-1 -1

2? 2 k -1

＞0，
即b_k+1 ＞b_k ．
由（1）、（2）知， b n =

a n

a n+1

是增数列．