求解线性方程组的通解

一、线性方程组概念

1、一般我们所说的线性方程组，一般有未知数（一次）、系数、等号等组成，如下所示：

2、线性方程组可以转化成矩阵形式，如下所示：

3、将等式右端，加入矩阵，形成增广矩阵能有效的求出线性方程组的解，如下：

二、方程组的通解

1、方程组还可以写成如下所示的向量形式：

2、方程组通解的概念：

3、求方程组通解的基本方法，一般有换位变换，数乘变换，倍加变换等，如下：

三、行阶梯方程

1、利用初等行变换求解以下方程组：

2、化简为行阶梯方程组：

3、行阶梯方程组概念，如下图所示。

四、经典例题——求通解

1、求解下题方程组的通解：

2、转换成，行阶梯方程组，并定义自由未知数，因此，可以得出该题通解，如下：

系数矩阵化最简行

1    1    1    1    

2    3    1    1    

4    5    3    3    

第2行,第3行, 加上第1行×-2,-4

1    1    1    1    

0    1    -1    -1    

0    1    -1    -1    

第1行,第3行, 加上第2行×-1,-1

1    0    2    2    

0    1    -1    -1    

0    0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    0    2    2    0    0    

0    1    -1    -1    0    0    

0    0    1    0    1    0    

0    0    0    1    0    1    

第1行,第2行, 加上第3行×-2,1

1    0    0    2    -2    0    

0    1    0    -1    1    0    

0    0    1    0    1    0    

0    0    0    1    0    1    

第1行,第2行, 加上第4行×-2,1

1    0    0    0    -2    -2    

0    1    0    0    1    1    

0    0    1    0    1    0    

0    0    0    1    0    1    

得到基础解系：
(-2,1,1,0)T
(-2,1,0,1)T
因此通解是
C1(-2,1,1,0)T + C2(-2,1,0,1)T