（1）f′（x）=-3x2+2x=-3x（x-
），2 3
f（x）=-x3+x2在（-∞，0），（
，+∞）上是减函数，2 3
在（0，
）上是增函数，2 3
故f极大（x）=f（
）=2 3
，f极小（x）=f（0）=0；4 27
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x3-（a+2）x
=x2+alnx-（a+2）x
F′（x）=
，(x-1)(2x-a) x
又∵F（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1；
故在a≤-1时，
F′（x）＞0，
故a≤-1．
（3）证明：∵当a=-1时，x2-lnx-x＞0对任意x∈（1，+∞）上恒成立，
∴（n+i）2-ln（n+i）-（n+i）＞0，
∴0＜ln（n+i）＜（n+i）2-（n+i），
∴
＞1 ln(n+i)
=1 (n+i)(n+i-1)
-1 n+i-1
；1 n+i
+1 ln(n+1)
+…+1 ln(n+2)
1 ln(n+2013)
＞
-1 n
+1 n+1
-1 n+1
+…+1 n+2
-1 n+2012
1 n+2013
=
-1 n
=1 n+2013
．2013 n(n+2013)
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