在 ABC中a、b、c为角A、B、C所对的边，求证(aA+bB+cC)⼀a+b+c 大于等于圆周率⼀3

用分析法即可
因为π/3=（A+B+C）/3，
所以就是要证(aA+bB+cC)/(a+b+c)≧（A+B+C）/3
也就是说要证 3(aA+bB+cC) ≧(a+b+c)（A+B+C）
右边展开，移项整理，要证的式子就变成了2(aA+bB+cC)
≧a(
B+C )+b(A+C)+c(A+B)
即要证2(aA+bB+cC)
-[a( B+C )+b(A+C)+c(A+B)]≧0
因2(aA+bB+cC)

=

(aA+bB+cC)+(aA+bB+cC)
而[a( B+C )+b(A+C)+c(A+B)]=(aB+bC+cA)+(aC+bA+cB)
上下两个括号对应相减，有2(aA+bB+cC)
-[a(B+C )+b(A+C)+c(A+B)]=[a(A-B)+b(B-C)+c(C-A)+a(A-C)+b(B-A)+c(C-B)]=(a-b)(A-B)+(b-c)(B-C)+(c-a)(C-A)=2R(sinA-sinB)(A-B)+2R(sinB-sinC)(B-C)+2R(sinC-sinA)(C-A)≧0（R为三角形ABC外接圆半径）
两边同时除以2R,要证的式子即(sinA-sinB)(A-B)+(sinB-sinC)(B-C)+(sinC-sinA)(C-A)≧0
再用三角函数中的和差化积公式将左边化成
2(A-B)sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+2(B-C)sin[(B-C)/2]cos[(B+C)/2]+2(C-A)sin[(C-A)/2]cos[(C+A)/2]
因为该式中余弦中的角度都是锐角，而每项中的角度差和该项中正弦里的角度同正同负或同时为0，所以该式中每项都大于等于0，所以要证的式子左边大于等于0，即要证的式子成立