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利用二项式系数的性质证明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)⼀6

2025-03-01 03:24:16

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回答1：

[分析]
令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)
考察它的x^(n-2)的系数，设为A

从二项式拆解的方向看
A是从1~n之间任意的取两个不同数相乘，然后得其和便是，那么这里我们把Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2给它加上去，此时
A+Sn=n(n+1)/2*n(n+1)/2=[n(n+1)/2]^2

从多项式的根与系数的关系上看有
A=(n+1)n(n-1)(3n+2)/12
从而Sn=n(n+1)(2n+1)/6

当n=10时，x^8的系数是11*10*9*32/12=2640

PS 貌似另一个角度有点问题，得思考一下