确定常数a，b使x趋近于0时。f(x)=(a+bcosx)sinx-x为x的5阶无穷小

f(
x)
=
x
–
sinx
*(
a
+
bcosx
)
–
bsinx
首先忽略二阶无穷小，只考虑一阶，则
0=x-x（a+b）-bx
所以
a=1-2b
f(
x)
=
x
–
sinx（1-2b+b
cosx）
–
bsinx

=
x
–
sinx（1-b+b
cosx）

=
x
-
(x-
1/6x^3
+1/120x^5
+...)
[1-b+
b
(1-
1/2x^2+1/24x^4+...)]
f(x)
= x
-x(1-
1/6x^2
+1/120x^4
+...)
(1-b/2x^2+b/24x^4+...)
=
(1/6+b/2)x^3
-
(1/120+b/24+b/12)x^5+...
当b=
-1/3
时，三次项系数为0，五次项系数不为0。

所以
a=5/3，b=
-1/3

只要证明【(a+bcosx)sinx-x】/(x^5) (在x=0处是0/0型) 在x趋近于0时取值为1
它在0处的极限=分子分母分别关于x求导(一个定理)，得到
[acosx-bcos2x-1]/5x^4，仍然需要在x=0处是0/0型
因此分子为0 ，即a-b-1=0
分子分母分别关于x求导，得到
(-asinx-2bsin2x)/20x^3,在x=0处0/0型
继续分子分母关于x求导，得到：
(-acosx-4bcos2x)/60x^2，仍然需要在x=0处是0/0型
得到另外一个等式-a-4b=0

联立两个等式得到a=4/3 b=-1/3