初等数论证明题 数论定理

1. 先证明没有重复.
易见x, y > 1, 故数列{[nx]}与{[ny]}分别严格递增.
只需再证明二者没有公共项.
假设二者有公共元素k, 即存在正整数m, n使[nx] = k = [my].
则k ≤ nx < k+1, k ≤ my < k+1.
由x, y是无理数, 上面两式的等号都不能成立, 即有k < nx < k+1, k < my < k+1.
再由1/x+1/y = 1可得k = k/x+k/y < n+m < (k+1)/x+(k+1)/y = k+1.
这与k, m, n均为整数矛盾, 故两数列没有公共元素.

再证明没有遗漏.
假设正整数k在两数列中均不出现.
取n为使[nx] > k的最小正整数, 则有k > [(n-1)x].
可改写为[nx] ≥ k+1, k-1 ≥ [(n+1)x], 进而有nx ≥ k+1, k > (n-1)x.
由x为无理数, 前者的等号不能成立, 有nx-1 > k > (n-1)x.
同理, 取m为使[my] > k的最小正整数, 则有my-1 > k > (m-1)y.
由1/x+1/y = 1可得n+m-1 = n-1/x+m-1/y > k/x+k/y = k > n-1+m-1 = n+m-2.
同样与k, m, n均为正整数矛盾.

综上, {[nx]}与{[ny]}不重不漏的取遍全体正整数. 证毕.

2. 设x < p/q, 其中p, q为正整数.
则[x] < [2x] <...< [qx] < p, 即在1, 2,..., p-1这p-1个正整数中至少有q个出现在{[nx]}中.
由条件知, 至多有p-1-q个出现在{[ny]}中, 故(p-q)y ≥ [(p-q)y] ≥ p, 得y ≥ p/(p-q).
当p/q趋近x时, p/(p-q) = (p/q)/((p/q)-1)趋近于x/(x-1).
因此取一列大于x的有理数逼近x, 可得不等式y ≥ x/(x-1).

设p/q < x, 则[qx] ≥ p, 即在1, 2,..., p-1中至多有q-1个出现在{[nx]}中.
由条件知, 至少有p-q个出现在{[ny]}中, 故[(p-q)y] ≤ p-1, 有(p-q)y < p, 即y < p/(p-q).
同上取一列小于x的有理数逼近x, 可得y ≤ x/(x-1).
因此y = x/(x-1), 整理得1/x+1/y = 1.

只需再证明x, y都是无理数.
假设x = p/q, 可得y = p/(p-q), 则[qx] = p = [(p-q)y], 两数列有公共项, 矛盾.
于是x为无理数, 进而y也是无理数.
综上, x, y都是无理数并满足1/x+1/y = 1. 证毕.

3. 原命题是Beatty定理(貌似也叫Rayleigh定理), 逆命题不清楚.