已知抛物线y2=4x与椭圆x29+y2m=1有共同的焦点F2.(1)求m的值;(2)若P是两曲线的一个公共点,F1是椭

2025-04-24 06:15:17
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回答1:

(1)依题意可知抛物线焦点为(1,0),
∴椭圆的半焦距c=1,即9-m=1,m=8
(2)设P(x1,y1

x 12
9
+
y 12
8
=1
y
=4x1
得 2x21+9x1-18=0,∴x1=
3
2
,或x1=-6(舍).
∵x=-1是y2=4x的准线,即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1.设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN,则|PF2|=|PN|.
又|PN|=x1+1=
5
2

∴|PF2|=
5
2
,|PF1|=2a-
5
2
=
7
2

过点P作PP1⊥x轴,垂足为P1,在Rt△PP1F1中,cosα=
5
7
在Rt△PP1F2中,cos(л-β)=
1
5
,cosβ=-
1
5
,∴cosαcosβ=-
1
7

(3)∵x1=
3
2
,∴|PP1|=
6

∴S△PF1F2=
1
2
|F1F2|?|P1P2|=
6