“急”14道初三数学的问题（高悬赏）全答对200悬赏

1)解：连接OB,

∵AB=OC,OB=OC(都是半径),

∴OB=AB, ∴∠BOA=∠BAO=∠A,

∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE=∠BOA+∠BAO=2∠A,

∴∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°

∴3∠A=72°,

∴∠A=24°.
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[注] 这里反复使用了一个简单结论：三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和

2)证：连接OA,OB,OC,

∵ON⊥AC,OA=OC(都是半径),

∴NA=NC, ∴CN=1/2*CA,

∵OM⊥BC,OB=OC(都是半径),

∴MB=MC, ∴CM=1/2*CB,

∴CN:CA=CM:CM=1:2

∵∠NCM=∠ACB=∠C

∴△NCM∽△ACB(SAS)

∴NM‖AB且NM:AB=1:2

∴NM=1/2*AB

证毕.

3)证：任取直线l与直线外一点P,由几何公理得存在一条直线i使得i⊥l；由于i不平行于l，所以由几何公理得i与l有且仅有一个交点，设此交点为A，则PA⊥l,

假设过P存在异于i的直线j使得j⊥l,易得在直线l上存在点B为j与l的交点,使得PB⊥l；由于i≠j且i与j已经有交点P,所以B≠A(因为若非如此就有i=j，因为由几何公理得两点P,A确定一条直线所以i,j重合).

∵线段AB在l上,且P不在l上,

∴P与AB不共线,

∴可以连接PA,PB使得PAB构成一个三角形,

∵PAB为三角形，

∴∠P+∠A+∠B=180°且∠P,∠A,∠B＞0°

∵PA,PB⊥l, ∴PA,PB⊥AB,

∴∠PAB=∠PBA=90°即∠A=∠B=90°,

∴∠P=180°-(∠A+∠B)=0°而这与∠P＞0°矛盾,

∴假设不成立,这就证明了过任一直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直.

证毕.
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[注意] 题目条件前提部分为了严谨应加入“同一平面内”，即“同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直”，因为过3维空间的直线外一点有无数条直线与给定直线垂直，在非欧几何中该命题也不成立.

4)解：∵菱形对角线互相垂直平分,

∴AC⊥BD且OA=OC,OD=OB,

∴AO=1/2*AC=1/2*8=4(cm)且∠AOB=90°,

∴BO=√(AB^2-AO^2)√(5^2-4^2)=3(cm) (由△AOB为Rt三角形得AB^2=AO^2+BO^2),

∵ABCD为菱形,所以ABCD中心O到四边距离都相等,过O作OE⊥AB,

∵面积S(△AOB)=1/2*OE*AB=1/2*AO*BO,

∴OE=AO×BO÷AB=4×3÷5=12/5=2.4＞2,

∴2cm位半径的圆与菱形四边都不交.

由前述分析得,以O点为圆心的圆,半径为2.4时,圆O与菱形的四边都相切.

5)解：

(1)设OB=x,则OD=OB=x,故OC=OD+CD=x+1,

∵△OBC为直角三角形,所以OB^2+BC^2=OC^2,

∴√3^2+x^2=(x+1)^2,解得x=1,

∴OB=x=1,故圆O半径长度为1.

(2)DF与圆O相切.证明如下：

∵F为BE的中点, ∴BF=1/2*BE,

∵OB=OA, ∴BO=1/2*BA,

∴OF平行且等于1/2*AC(由SAS得△BOF∽△BAC),

∴∠DOF=∠ODA,∠BOF=∠A,

∵∠ODA=∠A(∵OD=OA),

∴∠DOF=∠BOF,

又∵OD=OB,OF=OF,

∴△DOF≌△BOF(SAS)，

∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴DF⊥OD,

∴DF与圆O相切
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[注意]千万不能用第(1)小问的结论“OB=1,CO=2,∠C=30°,∠COB=60°”,一方面条件“若BC=根号√3，CD=1”只适用于第(1)小问，一方面第二问结论完全可以不依赖第一问的条件独立推出，是更一般性的结论。

6)证：连接BO,

∵PA,PA为圆O切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,

又∵OA=OB,OP=OP,

∴△OAP≌△OBP(SAS),

∴∠AOP=∠BOP,∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=2∠BOP，

∴π=∠AOC=∠AOB+∠COB=2∠BOP+∠COB,

又∵π=∠C+∠OBC+∠COB=2∠OBC+∠COB(∵OC=OB易得∠C=∠OBC),

∴2∠BOP+∠COB=2∠OBC+∠COB,

∴∠BOP=∠OBC,

∴OP‖BC.证毕.

7)

(1)解：连接OD,OE,OF,设圆O半径长为r,由O为△ABC内切圆易得OD=OE=OF=r; 已知△ABC周长L=8(cm),面积为S=12(cm^2),

∵L=AB+BC+CA,

S=S(△ABC)=S(△AOB)+S(△BOC)+S(△COA)=1/2*AB*OE+1/2*BC*OF+1/2*CA*OD=1/2*(AB+BC+CA)*r,

∴S=1/2*L*r，

∴r=2S/L=2*12/8=3(cm),

∴圆O半径长为3cm.

(2)S,l,r关系为S=1/2*Lr,证明直接包含在(1)推导过程中.

8)解：

(1)过D做DE⊥AC,

∵AD‖BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-120°=60°，

∵AC平分∠BCD, ∴∠DCA=∠BCA=1/2*∠BCD=1/2*60°=30°,

∴∠DAC=180°-（∠ADC+∠DCA)=180°-(120°+30°)=30°，

∴∠DAC=∠DCA,故由DE⊥AC可得DA=DC且∠EDA=∠EDC,

∵∠DCE=∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴∠EDC=60°,

∴Rt△DEC中,设DE=x,则有CD=2DE=2x,故AD=CD=2x且AB=DC=2x(∵由AD‖BC易得ABCD为等腰梯形),

∵∠B=∠BCD=60°(∵ABCD为等腰梯形),∠BCA=30°，

∴∠BAC=180°-(∠B+∠BCA)=180°-(60°+30°)=90°,

∴BC=2AB=2*2x=4x,且BC为圆O的直径(OB,OC为半径),

∴ABCD周长为L=AB+BC+CD+DA=2x+4x+2x+2x=10，解得x=1,

∴OB=1/2*AB=1/2*4x=2x=2，

∴圆的半径为2.

(2)连接OA,OD,过O做OE⊥AD，

∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠BOA=180°-(∠OBA+∠OAB)=60°,同理可得∠COD=60°,

∴∠AOD=180°-(∠BOA+∠COD)=60°，

∴扇形OAD的面积S(扇OAD)=60°/360°πr^2=1/6*πOA^2=1/6*π2^2=(2/3)π,

∵OA=OD且OE⊥AD，∴OE垂直平分AD，故EA=ED=1/2*AD=1,

∵AB=BO=OD=DA=2, ∴ABOD为菱形, ∴∠ODE=∠B=60°,

∵Rt△OED中，∠OED=90°且∠ODE=60°,

∴OE=√3*ED=√3,

∴△OED面积为S(△OAD)=1/2*AD*OE=√3,

∴阴影部分面积为S(扇OAD)-S(△OAD)=(2/3)π-√3.

9)

(1)证：∵AB=BC,∴劣弧AB=劣弧BC,∠BDA=∠BDC(等弧所对圆周角相等,即“等弧对等角”),

∴DB平分∠ADC.证毕.

(2)解：∵∠BCA与∠BDA皆为劣弧AB所对的圆周角,∴∠BCA=∠BDA，

又∵∠BDA=∠BDC(第(1)问结论),∴∠BCE=∠BCA=∠BDA=∠BDC,

又∵∠CBE=∠DBC,∴△CBE∽△DBC(AAA),

∴BE/BC=BC/BD即3/BC=BC/3+6=BC/9,∴BC^2=27,

∴BC=3√3,

∴AB=BC=3√3.

10)解：过O做直线OE⊥AB,此直线交DC于F,由AB‖CD易得OF⊥DC；过B做BG⊥DC交DC延长线于G，

则S△ODC=1/2*DC*FO,S△BDC=1/2*DC*GB，

∴S△ODC:S△BDC=1/2*DC*FO:1/2*DC*GB=FO:GB=1:3，

易得FE‖GB且FE=GB，∴FO:OE=FO:(FE-FO)=FO:(GB-FO)=1:(3-1)=1:2,

过C做CH⊥DB，与上述同理可得

S△ODC:S△BDC=1/2*DO*CH:1/2*DB*CH=DO:DB=1:3，故DO:OB=1:2,

∴易得S△ODC:S△BOC=DO:OB=1:2，

∵AB‖CD,∴∠DCO=∠BAO,∠CDO=∠ABO,又∵∠BOA=∠DOC,

∴△BOA∽△DOC(AAA),

∴DC:AB=DO:OB=1:2,又因为FO:OE=1:2,

∴S△ODC:S△BOA=1/2*DC*FO:1/2*OB*OE=DC*FO:OB*OE=1*1:2*2=1:4，

∴S△ODC:S△ABC=S△DOC:(S△BOA+S△BOC)=1:(4+2)=1:6.

11)解：∵DE‖BC，∴易得△ADE∽△ABC(AAA),故AD:AB=DE:BC,不妨设此比例为k,则BC=kDE

过A做AG⊥BC，AG交DE于F，易得AF⊥DE且AG:AF=AD:AB=k,故AG=kAF,

∴S△ADE:S(梯形DBCE)=S△ADE:(S△ABC-S△ADE)=1/2*DE*AF:(1/2*BC*AG-1/2*DE*AF)=1/2*DE*AF:(1/2*kDE*kAF-1/2*DE*AF)=DE*AF:(k^2-1)DE*AF=1:k^2-1=1:1，

∴k^2-1=1，故k=√2，

∴AD:AB=1:√2,

∴AD:DB=1:√2-1即DB=(√2-1)AB.

12)解：过F做直线l⊥DC交DC于G,交BE于H(FG⊥DC)；由于AB‖DC(∵ABCD为平行四边形)故FH⊥BE，

∵BE与AB共线且AB‖DC,∴BE‖DC，由此易得△FDC∽△FEB(AAA),同理可得Rt△FGC∽Rt△FHB,

∴BE:CD=FB:FC=FH:FG,

∵BE=1/4*AB,AB=CD,

∴S△FDC:S△FEB=1/2*CD*FG:1/2*BE*FH=CD*FG:BE*FH=4BE*4FH:BE*FH=4^2:1=16:1;

同理可得△EFB∽△EDA且S△EDA:S△EFB=(1+4)^2=25:1,

∴S梯形FDAB:S△EFB=(S△EDA-S△EFB):S△EFB=(25S△EFB-S△EFB):S△EFB=24:1,

∴S平行四边形ABCD:S△EFB=(S△FDC+S梯形FDAB):S△EFB=(16S△EFB+24S△EFB):S△EFB=40:1

∴S△EFB=1/40*S平行四边形ABCD=1/40*2004=2004/40=50.1(cm^2)

∴△BEF的面积为50.1cm^2.

13)解：由于n边形内角和为(n-2)180°,所以正n边形每个内角为(n-2)180°/n,

∴此时n=6，∠BCD=∠EDC=(6-2)180°/6=3/2*180°=120°,

∵CB=CD,DE=DC(正六边形),∴∠CBD=∠CDB,∠DEC=∠DCE，

∴∠CBD=∠CDB=1/2(180°-120°)=30°,同理可得∠DEC=∠DCE=30°,

∴∠GCD=∠DCE=30°,∠GDC=∠CDB=30°,

∴∠CGD=180°-(∠GCD+∠GDC)=120°,

∴∠BGC=180°-∠CGD=60°
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[附] 给个n边形内角和为(n-2)180°的证明.
Pf:∵n边形其中一顶点与其他顶点的连线将n边形分割为n-2个三角形，
∴n边形内角和等于n-2个三角形的内角和之和,
∴n边形内角和=(n-2)180°.
证毕.

14)CE‖FD.证明如下：

连接AB,则∠ECA=∠ABE(同样为圆O1的劣弧EA所对圆周角),∠ABF=∠ADF(同样为圆O2的劣弧FA所对圆周角)，

∵E,F共线,∴∠ABE=∠ABF，∴∠ECA=∠ADF,

设CD与EF交于点G，则∠ECG=∠ECA=∠ADF=∠GDF,

∴CE‖FD. 证毕.

1 连接OB 则OB=OC
∵OC=AB,OC=OB
∴OB=AB ∴∠BOA=∠A
∴∠EBO=∠BOA+∠A=2∠A
∵OE=OB
∴∠OEB=∠EBO=2∠A
在△OEA中，∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°
∴∠A=24°
2 ∵OM⊥BC，ON⊥AC
∴MC=1/2BC,NC=1/2AC
即MC/BC=NC/AC=1/2
∵∠C为公共角
∴△MNC∽△BAC
∴MN/AB=1/2
即MN=1/2AB
3 证明：过点P作PA、PB，假设PA、PB都和直线L垂直。
那么在△PAB中，角PAB+角PBA=90°+90°=180°，角APB=0°，如果两边的夹角成0°，两边就重和了，所以PA和PB就重合成一条线了，即：过点P只能有一条直线和L垂直。
4 ∵在◇ABCD中，AC，BD相交于点O
∴AC⊥BD,AC,BD互相平分
∵AC=8，
∴OC=4
通过面积求得在Rt△ODC中，DC边上的高为12/5
∴当半径为12/5时，圆O与菱形的四边都相切
∵12/5＞2
∴当半径为2时，圆与菱形四边的位置关系 相离
5 （1）在Rt△BOC中，BC=√3，DC=1
设OD=OB=x
则（√3）²+1²=（1+x）²
x=1
即半径为1
（2）连接BD，则∠BDA=∠EDB=90°
∵在Rt△BOC中，CD=DO=1
∴BD=CD=DO=1
∵在Rt△BOC中，OB=1,CO=2
∴∠C=30°，∠COB=60°
∵BD=DO
∴△BDO为等边三角形
∴∠ODB=∠OBD
∵∠EDB=90°，F为BE中点
在Rt△DEB中，DF=BF=EF
∴∠FDB=∠FBD
∵∠ODB=∠OBD
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD
即∠FDO=∠FBO
∵∠FBO=90°
∴∠FDO=90°
又∵OD为半径
∴DF与圆O相切
6 连接BO
△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB
∵∠ACB=1/2∠AOB
∴∠BOP=∠ACB
∵OC=OB
∴∠ACB=∠OBC
∴∠BOP=∠OBC
∴OP‖BC
7 （1）连接AO,BO,CO,EO,DO,FO
∵ 圆O为三角形ABC的内切圆，且与AC,AB,BC分别相切于点D,E，F
∴OE,OD,OF分别为△ABO,△ACO，△BCO的高,OE=OD=OF
则S△ABO=1/2*AB*EO
S△ACO=1/2*AC*OD
S△BCO=1/2*BC*OF
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE（AB+AC+BC)=12
∵AB+BC+AC=8
∴OE=3
（2）S=1/2*r*l
证明过程见(1) 只是把具体数字换成字母即可
关键一步的体现在于S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE（AB+AC+BC)=12 模仿它写

1.因为∠EOD=72 所以弧ED=72 所以∠A=36

你有发问题的时间自己想想也做出来了

图呢？