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设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )两点在抛物线y=2x 2 上,l是AB的垂直平分线,(Ⅰ)当且仅当x 1 +x 2
设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )两点在抛物线y=2x 2 上,l是AB的垂直平分线,(Ⅰ)当且仅当x 1 +x 2
2024-12-03 12:05:08
推荐回答(1个)
回答1:
(Ⅰ)∵抛物线y=2x
2
,即
x
2
=
y
2
,∴
p=
1
4
,
∴焦点为
F(0,
1
8
)
(1分)
(1)直线l的斜率不存在时,显然有x
1
+x
2
=0(3分)
(2)直线l的斜率存在时,设为k,截距为b
即直线l:y=kx+b
由已知得:
y
1
+
y
2
2
=k?
x
1
+
x
2
2
+b
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=-
1
k
(5分)
?
2x
21
+
2x
22
2
=k?
x
1
+
x
2
2
+b
2x
21
-
2x
22
x
1
-
x
2
=-
1
k
?
x
21
+
x
22
=k?
x
1
+
x
2
2
+b
x
1
+
x
2
=-
1
2k
(7分)
?
x
21
+
x
22
=-
1
4
+b≥0
?b≥
1
4
即l的斜率存在时,不可能经过焦点
F(0,
1
8
)
(8分)
所以当且仅当x
1
+x
2
=0时,直线l经过抛物线的焦点F(9分)
(Ⅱ)当x
1
=1,x
2
=-3时,
直线l的斜率显然存在,设为l:y=kx+b(10分)
则由(Ⅰ)得:
x
21
+
x
22
=k?
x
1
+
x
2
2
+b
x
1
+
x
2
=-
1
2k
?
k?
x
1
+
x
2
2
+b=10
-
1
2k
=-2
(11分)
?
k=
1
4
b=
41
4
(13分)
所以直线l的方程为
y=
1
4
x+
41
4
,即x-4y+41=0(14分)
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