考研 线数 二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准型为？

因为A的各行元素之和为3

所以 A(1,1,1)^T = 3(1,1,1)^T

故3是A的特征值

又因为 r(A)=1

所以A的全部特征值为 3,0,0

这里是因为A可对角化为主对角线上为其特征值的对角矩阵, 它们秩相同

故 f 在标准形为 y1^2

概念

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

支持考研!
因为A的各行元素之和为3
所以
A(1,1,1)^T
=
3(1,1,1)^T
故3是A的
特征值
.
又因为
r(A)=1
所以A的全部特征值为
3,0,0
--
这里是因为A可对角化为主对角线上为其特征值的
对角矩阵
,
它们秩相同
故
f
在标准形为
y1^2.

一般情况下,
特征值的顺序为先正(自然序)后负后0
因为a的秩为1,
所以
a
的特征值为
3,0,0
所以对应的标准形为
3y1^2
不过这个顺序不是很重要,
只要对应上,
都不算错