已知a>1,b>0,求证ln((a+b)⼀b)>1⼀(a+b)

2025-02-24 06:17:16

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回答1：

右边的式子可以写作a^(b/(a+b))*b^(a/(a+b))
左除以右：a^[1/2-b/(a+b)]*b^[1/2-a/(a+b)]
=a^[1/2(a-b)/(a+b)]*b^[1/2(b-a)(a+b)
=(a/b)^[1/2(a-b)(a+b)]
现在判断：当a
b时，a/b大于1，指数大于0，原式大于1；当a=b时原式等于1，所以原不等式成立

回答2：

证明：
构造函数f(x)=(1-x)/ax
+lnx
则f'(x)=-1/ax²+1/a=(x²-1)/a
当x>1时,
f'(x)>0
∴f(x)单调递增
又(a+b)/b>1
∴f((a+b)/b)>f(1)=0
∴ln[(a+b)/b]-1/(a+b)>0
∴ln[(a+b)/b]>1/(a+b)
证毕