如何求和的最大值与积的最小值 详细03

如何求和的最大值与积的最小值 根据均值不等式我们容易知道对于两个正数在积为定值时，和有最小值；和为定值时积有最大值。而在有些题目中却偏要求和的最大值或积的最小值，那末这类问题搞如何解决呢？本文试图通过几例说明。 一、观察能否首先变形 在有些题目中，根据题目条件，进行简单变形即可。 例1、 已知 ) , 2 ( ，求tan cot 的最大值. [分析]本题表面是求和的最大值，而由于 ) , 2 ( 时， tan <0,因此只要提取负号，就可以转化为和的最小值问题。 [解答]： ) , 2 ( 时， tan <0, tan cot =-[（- tan ）+（- )] tan 1 2 ，当且仅当 4 3 时等号成立。 例2、 已知a,b 都是正数，且a+2b=1,求lga+lgb 的最大值。 [分析]：本题若将lga+lgb 变形成lgab 就可将和的最大值问题转化为积的最大值问题。 [解答]： lga+lgb=lgab= lg 2 1 [a（2b）] 2 ) 2 2 ( 2 1 lg b a =-lg8 lga+lgb 的最大值是-lg8，当且仅当a= 2 1 , b= 4 1 时等号成立。 二、观察能否展开 对于多项式的积的形式求最小值，可以考虑展开成和的形式。 例3、 已知a,b 都是正数，且a+b=1,求（ ) 1 1 )( 1 1 b a 的最小值。 [分析]：将多项式展开就可将积的最小值转化为和的最小值问题。 [解答]：（ ) 1 1 )( 1 1 b a = ab 1 + a 1 + b 1 +1= ab 1 + ab b a +1= ab 2 +1， 由a+b=1 得 ab 1 4 ，因此 ) 1 1 )( 1 1 b a 9 ，即 ) 1 1 )( 1 1 b a 的最小值为9。 三、观察能否利用结论 利用课本中均值不等式的变形形式 2 ) 2 ( 2 2 2 b a b a 就可以求和的最大值。 例4、 已知a、b 都是正数，且 1 4 2 2 b a ，求2a+b 的最大值。 [解答]由 1 4 2 2 b a 得 4 4 2 2 b a ，而 2 4 2 2 2 2 b a b a = 2 ，因此2a+b 2 2 ，即2a+b 的最大值为2 2 。