13问答网 > 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，若⊙O的半径为4．（1）求证：CD是⊙O

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，若⊙O的半径为4．（1）求证：CD是⊙O

2025-04-24 17:36:20

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回答1：

解答：（1）证明：连接OC，则∠COD=2∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知△OCD为直角三角形，且∠D=30°，
所以OD=2OC=2×4=8，且OB=4，所以BD=8-4=4；
（3）解：在Rt△OCD中，OC=4，OD=8，由勾股定理可求得CD=4

，
所以S_△OCD=

OC?CD=

×4×

，
因为∠COD=60°，所以S_扇形COB=

60π×42

360

π，
所以S_阴影=S_△OCD-S_扇形COB=2

π．