（I）证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A1D⊥面ABC，
∴A1D⊥BC，
∠BCA=90°，
∴AC⊥BC
∵A1D∩AC=D，
∴BC⊥平面ACC1A1；
（II）由（I）知，A1D⊥面ABC，
AA1在平面ABC的射影是AC，
∴∠A1AD是AA1与平面ABC所成的角，又A1B⊥AC1，A1B在平面ACC1A1的投影为A1C，
∴A1C⊥AC，又ACC1A1是菱形，
∴AA1=AC=a，AD=DC=
a，在Rt△A1DA中，COS∠A1AD=1 2
=AD A 1A
得∠A1AD=1 2
π 3
（III）由（I）知BC⊥平面ACC1A1作CN⊥AA1，于点N，连接BN，∠BNC是二面角B-AA1 -C的平面角，
由图易知CN=
a，BC=a
3
2
∴在Rt△BCN中，tan∠BNC=
=BC CN
，2
3
3
∴二面角B-AA1 -C的平面角的正切值为
2
3
3
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