如何证明sin(α+β)=sin α×cosβ+sinβ×cos α

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明

如图

我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

在标准圆中.AB为直径.长度为1  由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.

令角A为角BAC

角B为角DAC

则角(A-B)为角BAD

证明如下:

cos(A-B)=AD/AB=AD  ①cosA=AC/AB=AC  ②sinA=BC/AB=BC  ③cosB=AE/AC   ④sinB=CE/AC

联立①③可知  cosB=AE/cosA  即cosAcosB=AE.

所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB  

又AD=AE+ED  即只要证明sinAsinB=ED即可

即要证明BC*CE/AC=ED

即要证明CE/AC=ED/BC

注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)

所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF

注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF

即可以证明CE/AC=EF/CF

即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB

由sinθ=cos(-θ)�

得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]

=cos[(-α)-β]�

=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ�

又∵cos(-α)=sinα�

sin(-α)=cosα�

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

根据两点间的距离公式推导：

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 

再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。

则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。

∵ OA=OB=OC=OD=1

∴ CD=AB。

∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；

=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；

=2-2 cos（α+β）。

AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；

=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；

=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ 

∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β）

=cos[（90°-α）+（-β）]

=cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）

=sinαcosβ+cosαsinβ；

设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)

以前答过

有好几种方法呢

http://zhidao.baidu.com/question/142069541.html