（1）证明：因为AC=BC
所以角BAC=角B
因为角BAC+角B+角C=180度
所以角C+2角B=180度
所以角B=90-1/2角C
因为角BAD=1/2角C
所以角B=90-角BAD
所以角B+角BAD=90度
因为角B+角BAD+角ADB=180度
所以角ADB=90度
因为AD是圆O的直径
所以直线BC是圆O的切线
（2）解：连接DF
因为AD是圆O的直径
所以角AFD=90度
因为角AFD+角CFD=180度
所以角CFD=90度
因为角CFD+角CDF+角C=180度
所以角CDF+角C=90度
因为角ADB+角ADC=180度
所以角ADC=角ADF+角CDF=90度
所以角ADF=角C
三角形ADC是直角三角形
所以tan角C=AD/CD
AC^2=AD^2+CD^2
因为角AEF=角ADF=1/2弧AF
所以角AEF=角C
所以tan角AEF=tan角C
因为tan角AEF=4/3
所以tan角C=4/3
因为AD=4
所以CD=3
AC=5
因为AC=BC
所以BC=5
因为BC=BD+CD
所以BD=5-3=2
所以BD的长是2
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