已知圆O:x 2 +y 2 =2,直线l:y=kx-2。(1)若直线l与圆O相切,求k的值; (2)若直线l与圆O交于不同的

2025-05-06 00:32:39
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回答1:

解:(1)由圆心O到直线l的距离
可得k=±1。
(2)设A,B的坐标分别为(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),
将直线l:y=kx-2代入x 2 +y 2 =2,
整理,得(1+k 2 )·x 2 -4kx+2=0,
所以
Δ=(-4k) 2 -8(1+k 2 )>0,即k 2 >1
当∠AOB为锐角时,


可得k 2 <3,
又因为k 2 >1,
故k的取值范围为
(3)设切点C,D的坐标分别为(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),
动点P的坐标为(x 0 ,y 0 ),则过切点C的切线方程为:x·x 1 +y·y 1 =2,
所以x 0 ·x 1 +y 0 ·y 1 =2
同理,过切点D的切线方程为:x 0 ·x 2 +y 0 ·y 2 =2,
所以过C,D的直线方程为:x 0 ·x+y 0 ·y=2
,将其代入上式并化简整理,
,而x 0 ∈R,
且-2y-2=0,可得 ,y=-1,
即直线CD过定点