什么是无穷小分析？

从数学的发展历史上来看， 1961年，A. Robinson为无穷小分析奠定了严密的逻辑基础。 1970年， H.JeromeKeisler在此基础上，创立了基于无穷小的微积分（请见： Elementary Calculus) 。此后，无穷小分析又经历了近30年的历史检验，终于在2011年该书再版，至此，无穷小分析方法被人们普遍接受，不再受到人们的”白眼“（质疑）。 无穷小分析的核心概念是：超实数系、连续函数、导数、微分与积分等基本概念的定义。超实数系是实数系的有序“超集合”，包含着”无穷小“超实数。据此，原有实数系里面的实数称为”标准实数“，而其余的”超实数“统称为”非标准实数“。在某个标准实数a的周围存在无穷多个非标准的”超实数“x ，与其相差是无穷小。这些超实数x以该标实数a为其”标准部分“（凝聚中心）（StandardPart），记为：a = st(x)。 超实数的”标准部分“是一个非常基本的概念。可以证明。任何超实数都有一个唯一的”标准部分“与其无限接近。无穷小的标准部分为零。从超实数出发，取其标准部分是一个非常重要的基本”运算“。给定函数f(x) ，以及非零无穷小dx ，那么，其导函数f'(x)的定义是： f'(x)= st{(f(x+dx) – f(x))/dx}：x在函数f的定义域之中。 以上定义显然没有牵扯极限过程。类似地，对于定积分，只要将积分的部分和推广到无限的积分”部分和“，然后再取其”标准部分“即可，完全不必求助于极限过程。可以严格证明，对于初等函数的微积分运算，两者的结果都是一样的。据此，玻尔关于氢原子结构模型的数学推演完全能够在此框架内得以实现，比如：算出氢原子的”玻尔半径“为 0.0529纳米。 从教学法的角度看问题：国外基础数学教育实践已经证明，无穷小方法是完全可行的，学生们容易接受无穷小的抽象概念。 不知道我们国内是否有这种类似的教学实验？进入纳米时代，非零的”无穷小“比抽象的零还要重要，应该是一个更基本的数学概念。 无穷小告诉我们，现实的物理时空是一个很复杂的概念。也没有无穷小的时间间隔？也没有无穷小的空间距离？无穷小理论告诉我们，无论把无限小时间段延长多少倍，都不会超过一秒钟。这叫超实数系的”非阿基米德“性质。实际上，某些纳米尺度就显示出某种”非阿基米德“属性，这并不奇怪。