已知圆．C：x2+y2-2x+4y-4=0（1）已知直线l过点（ 3，1），若直线l与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0有两个交点，求

2025-05-06 03:01:38

推荐回答（1个）

回答1：

（1）由于圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，即（x-1）²+（y+2）²=9，表示以C（1，-2）为圆心，半径等于3的圆．
由于直线l过点M（ 3，1），MC=

，大于半径，可得点M在圆的外部．
当直线l斜率k不存在时，直线l的方程为x=3，满足和圆有2个交点．
当直线l斜率k存在时，直线l的方程为y-1=k（x-3），即 kx-y+1-3k=0，
由圆心（1，-2）到直线l的距离小于半径可得

|k+2+1?3k|

k2+1

＜3，求得k＞0，或 k＜-

．
（2）假设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因为直线与圆相交，∴△＞0，即b²+6b-11＜0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-b-1，x₁?x₂=

b2+4b?4

．由OA，OB垂直，得：

=-1，
∴（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，均满足b²+6b-11＜0，
所求直线存在y=x-4或y=x+1．