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已知函数，f(x)＝?x3+x2(x＜1)alnx(x≥1)（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f
已知函数，f(x)＝?x3+x2(x＜1)alnx(x≥1)（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f
2024-11-29 08:56:17
推荐回答（1个）
回答1：
（1）当x＜1时，f′（x）=-3x
2
+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=
2
3
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（-∞，0）
0
（0，
2
3
）
2
3
（
2
3
，1）
f′（x）
-
0
+
0
-
f（x）
极小值
极大值
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=
2
3
．
（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x
3
+x
2
，
由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[
2
3
，1）上单调递减，在[0，
2
3
]上单调递增．∵
f(?1)＝2，f(
2
3
)＝
4
27
，f(0)＝0
，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）
max
=a．
综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．
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