解答：（1）证明：连接AP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP，
又∵BP=PD，
∴AP是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠QBE，∠EAD=∠EQB，
∴△ADE∽△QBE
∴
＝AD BQ
＝AE EQ
，2 1
又AD=BC，
∴
＝BQ BC
，即Q为BC中点，1 2
又∵AB为直径，
∴AQ⊥BC，而BQ=CQ，
∴AQ是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为正三角形，
∴∠CAQ=30°，
设CQ=x，则AC=2x，又AQ=AE+EQ=6，
根据勾股定理得：（2x）2=x2+36，
解得：x=2
，
3
∴CQ=2
，
3
∴AC=BC=AD=4
，
3
则梯形AQCD的面积为
（41 2
+2
3
）×6=18
3
．
3
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