高数求助，两道题！第7第8

7、F(x)=x^2*∫(0,x) f'(t)dt-∫(0,x) t^2*f'(t)dt
F'(x)=2x*∫(0,x) f'(t)dt+x^2*f'(x)-x^2*f'(x)=2x*∫(0,x) f'(t)dt=2x[f(x)-f(0)]
根据题意，lim(x->0) F'(x)/x^2=lim(x->0) 2[f(x)-f(0)]/x=1
即2f'(0)=1
f'(0)=1/2

8、根据积分中值定理，存在m∈[0,1/k]，使得：∫(0,1/k) xe^(1-x)f(x)dx=(1/k)*me^(1-m)f(m)
即f(1)=me^(1-m)*f(m)
令g(x)=xe^(1-x)*f(x)
因为g(m)=me^(1-m)*f(m)=f(1)；g(1)=f(1)
根据题意，g(x)在[m,1]上连续，在(m,1)上可导，则根据罗尔定理，存在n∈(m,1)，使：
g'(n)=0
e^(1-n)*f(n)-ne^(1-n)*f(n)+ne^(1-n)*f'(n)=0
(1-n)f(n)+nf'(n)=0
f'(n)=(1-1/n)f(n)
因为0<=m<=1/k<1，所以n∈(0,1)
证毕