如何由光速不变原理和相对性原理导出间隔不变性

如何由光速不变原理和相对性原理导出间隔不变性
作者：Richard May
链接：https://www.zhihu.com/question/21098881/answer/17290304
来源：知乎
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假设两个坐标系K与K‘，相互以恒定的相对速度运动。为了方便起见，我们令其相对速度只在x,x'方向，而y,y' z,z'之间没有相对速度。
考虑一束光信号从K坐标系的处出发（事件A），在终止（事件B），光速为c，则在K坐标系中观察，光信号行进的距离为，而这段距离又等于
即有：

同样的，我们也可以在K’坐标系中观察这两个事件，因为光速在K‘坐标系中依然是c（光速不变），所以在K’下也有这样的关系：

在四维空间中，事件之间的间隔表示为：

或者
(对应于两个彼此无限接近)
上面的式子表明，当两个事件在K坐标系间隔为0时，在K‘坐标系间隔也为0. 空间是各向同性的，所以可以扩展到不仅仅只有x,x'方向上有相对速度的情况。

那么我们可以认定，对于某个惯性系内两个无限接近的事件间隔ds和另一个惯性系内的间隔ds'之间，一定是成线性比例的：

(因为我们在前面只推出了平庸的结果，即ds=ds'=0，又因为ds和ds'是同阶无穷小。)
a只可能与两个坐标系的相对速度绝对值有关系。

现在考虑三个参考系K,K1,K2； V1,V2为K1,K2相对于K的速度；V12为K1，K2的相对速度。
那么由上面的讨论，我们可以写出：
, ，类似的，我们也可以写出：

联合考虑这三个等式，有：

如果要这个式子成立，那么函数就只能是常数1.
（如果不是常数，哪怕是简单函数，我们都不可能找到任意的V1，V2，V12，都使得这个等式满足）

因此有：

则有限间隔也应当是相等的。