2010年南通市中考数学最后一题最后一问的解题过程

解答:
(1) 直线AB设成：y=kx+b，代入A,B坐标可得：
b-4k=3,2k+b=0,可以得到：k=-1/2, b=1; AB解析式：y=-1/2x+1
抛物线对称轴为y轴，即b=0;同样代入A,B坐标可得：
4a+c=0; 16a+c=3;解得：a=1/4, c=-1, b=0;
所求抛物线为：y=1/4x^2-1;

(2) 圆心到直线的距离d即为A(-4,3)点到直线L上某个点M(x,y)距离的最小值:
利用两点间的距离公式：
d^2=(x+4)^2+(y-3)^2;
代入直线方程：y=-2,代入上式可以得到：
d^2=(x+4)^2+25最小值当x=-4时取得，为25, 即d=5,即圆A到L的距离为5，而圆A的半径为5,即d=r,即为相切。
另外的方法可以用几何法，此处略。

(3) L△PDO=PD+PO+OD,且OD=(1+1.5^2)^(1/2)
所以△PDO的周长最小即为求d=PD+PO长度的最小。
过P点作平行于y轴的直线交L与E点，则PE=PO(这个高中的解析几何是抛物线的第二定义，L是准线，O为焦点，待会我会给出详细证明(*))，此时d的求解为:
d=PD+PE长度的最小，d=PD+PE>=DE，显然当P为DE连线与抛物线交点时，取得"="号，此时D，P，E三点共线。
所以P(m，n)横坐标为m=-1，代入抛物线方程可得n=-3/4;
此时四边形CODP为以DP和OC为上下底的梯形，且：
DP=1.5-n=2.25, OC=2, h=|m|=1，所以面积为:
S=(DP+OC)*h/2=4.45/2=2.225

下面接着证明(*)结论PO=PE：
设P(m，n), 代入抛物线方程,那么n=1/4m^2-1，即m^2=4(n+1)
∵PO^2=m^2+n^2，∴PO=4(n+1)+n^2=(n+2)^2
∵PE^2=(n+2)^2，∴PO^2=PE^2，即PO=PE
上面的过程已经很详细了，不过说实话，这个题目最后一个问题是有点难，有什么问题可以到我的博客来留言：http://yiyunscu.blog.163.com

请把试题写出来

做点D关与x轴的对称点

最后一问八分之十七

scucloud 你计算失误了 是2.125 17/8
中考没用准线
这里补充下准线解析式
准线方程y=c-(b^2+1)/4a