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已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),f(1)=1则f(2009)？

求过程，谢谢！

2025-05-01 04:46:14

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回答1：

f(x)是定义在R上的奇函数，所以对于任意的x∈R，有 f(-x) = -f(x)
所以 f(x+2) = f(2-x) = f(-(x-2)) = -f(x-2)
所以 f(x+4) = f((x+2)+2) = -f((x+2)-2) = -f(x)
所以 f(x+8) = f((x+4)+4) = -f(x+4) = -(-f(x)) = f(x)
所以f(x)是周期为8的周期函数，对于任意的整数n，有 f(x+8n)=f(x)
所以 f(2009) = f(1 + 8×251) = f(1) = 1

回答2：

由题意：f(x+2)=f(2-x)=－f﹙x-2﹚
∴x=1时：f(3)=f(1)=1
x=3时：f(5)=－f(1)=－1
f(2009)=-f(2005)=f(2001)=-f(1997)=……=f（1）=1