用拉格朗日中值定理证明当x>1时，e∧x＞ex

g(x)=e^x-ex，

g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导，

所以由拉格朗日中值定理存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)，

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)，

此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0，

即e^x-ex>0;e^x>ex成立。

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。

其他形式

记  ,令  ,则有

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分  是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高。

而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

参考资料：拉格朗日中值定理_百度百科

g(x)=e^x-ex

g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导

所以由拉格朗日中值定理

存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)

此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0

即e^x-ex>0;e^x>ex成立

扩展资料：

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。

其他形式记  ,令  ,则有上式称为有限增量公式。

推论

如果函数  在区间  上的导数  恒为零，那么函数  在区间  上是一个常数。

证明

在区间  上任取两点  由拉格朗日中值定理得

由于已知 即 因为  是区间  上的任意两点，所以  在区间  上的函数值总是相等的，即函数在区间上是一个常数。

参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理

证：

令f(x)=e^x-ex

对f(x)求导得

f '(x)=e^x-e

因为x＞1

所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0

故f(x)在x＞1上是增函数

故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0

即e^x-ex＞0

e^x＞ex

证毕。

扩展资料

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导。

由该定理立即可得出一个推论：如果函数在某个区间上可导，那么导函数在该区间上不存在第一类间断点。换句话说，如果一个函数在某个区间上存在第一类间断点，那么它在该区间上没有原函数。

设g(x)=e^x-ex，可得知g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导

由拉格朗日中值定理，存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)，此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0
即e^x-ex>0

所以e^x>ex成立

扩展资料

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

参考资料百度百科-拉格朗日中值定理

g(x)=e^x-ex
g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)
此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0
即e^x-ex>0;e^x>ex成立