有界集一定是有限集吗？为什么？

2025-04-28 09:02:05

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回答1：

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

在一个度量空间(X,ρ)中的集合A，如果A的直径D(A)是有限的:
D(A)=max{ρ(x,y)}≤M ，其中任意x,y∈A;
就称A为有界集，即A是有界的。换句话说:一个集合是有界的，当且仅当它被包含在一个半径有限的开球内。

反证法
假设a∪b(设为C)为无界集

又因为a.b都是有界集
存在M,N>0
使得M>Max{|ai|},N>Max{|bi|},ai,bi为a,b中的元素
令P=Max{M,N}
对任取x属于C，有P>{|xi|}
与C无界矛盾

所以假设不成立
所以a∪b也是有界集

回答2：

样本空间不一定是有限集，当实验样本有无限个时，样本空间是无限集。

回答3：

界集是交界的意思，不是界限的意思。为何要有限集？