两个都不对，首先of后面不可用that从句，其次，根据语境，period后面的从句引导词用when不是that。
首先，of 是介词，后面接的是介词短语，可以做定语。你给的句子错在，of 后面直接跟的句子，不是介词短语！
而定语从句，是完整的句子。
其次，很遗憾！你所给的两个句子都不对啊！可以修改为——
I think we are living in a period of
everybody becoming famous.
I think we are living in a period when/
in which everybody can become
famous.
动词不定式在这里做后置定语，修饰前面的reason，翻译成迟到的理由
迟到是be late
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