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求函数在孤立奇点（包括无穷远点）处的留数(1-e^2z)⼀z^4

求函数在孤立奇点（包括无穷远点）处的留数 (1-e^2z)/z^4

2025-03-11 02:44:08

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回答1：

f(z)
=
(1-e^(2z))/z^4.
易见f(z)在复平面上只有唯一极点z
=
0.
由幂级数展开e^z
=
1+z+z²/2+z³/6+...,可算得e^(2z)
=
1+2z+2z²+4z³/3+...,
进而得到z
=
0处Laurent展开f(z)
=
(1-e^(2z))/z^4
=
1/z^4+2/z³+2/z²+4/(3z)+...
-1次项系数为4/3,即Res(f,0)
=
4/3.
由留数定理,Res(f,0)+Res(f,∞)
=
0,故Res(f,∞)
=
-4/3.