（Ⅰ）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于一个常数．sin213°+cos217°-sin13°cos17

（Ⅰ）（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°=

1?cos26°

2

+

1+cos34°

2

-sin13°cos17°=1+

1

2

（cos34°-cos26°）-sin13°cos17°
=1+

1

2

（-2）sin30°sin4°-

1

2

（sin30°-sin4°）=

3

4

．
（2）将该同学的发现推广为三角恒等式为：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，
证明：∵sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

1?cos2α

2

+

1+cos(60°?2α)

2

-sinαcos（30°-α）
=1+

1

2

[cos（60°-2α）-cos2α]-sinαcos（30°-α）=1+

1

2

（-2）sin30°sin（30°-2α）-

1

2

[sin30°-sin（30°-2α）]=

3

4

，
∴sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

 成立．
（Ⅱ）设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以当 x+

π

4

=-

π

4

 时，t_min=

2

sin（-

π

4

）=-1，
所以当x+

π

4

=

π

2

 时，t_max=

2

sin

π

2

=

2

，又因为2sinxcosx=（sinx+cosx）²-1=t²-1，
所以 y=t²+t-1=(t+

1

2

)2-

5

4

，-1≤t≤

2

，
所以当t=-

1

2

时，y_min=-

3

4

；当t=

2

时，y_max=1+

2

．