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数学归纳法 (n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+...+(2n)^2 急急急~ 在线等

请用数学归纳法证明: (n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+...+(2n)^2=n(2n+1)(7n+1)/6

2025-03-06 12:45:59

推荐回答（1个）

回答1：

当n=n时
原式=n(2n+1)(7n+1)/6=(2n^2+n)(7n+1)/6
=(14n^3+9n^2+n)/6
当n=n+1时
原式=(n+1)[2(n+1)+1][7(n+1)+1]/6
=(n+1)(2n+3)(7n+8)
=(n+1)(14n^2+37n+24)/6
=(14n^3+37n^2+24n+14n^2+37n+24)/6
=(14n^3+51n^2+61n+24)/6
将此结果减去(14n^3+9n^2+n)/6得
(14n^3+51n^2+61n+24-14n^3+9n^2+n)/6
=(42n^2+60n+24)/6=7n^2+10n+4

当n=n+1时，与n=n时相比，原式增加了两项：

(2n+1)^2+(2n+2)^2
=4n^2+4n+1+4n^2+8n+4
=8n^2+12n+5
咦！怎么不对？！

错在哪里了呢？
以上解题思路应该没有问题。
很奇怪，找不出错在哪里。你找找看。