13问答网 > 怎么证明一元三次方程x^3 - 15x + 1 = 0 在【-4，4】中有三个解？

怎么证明一元三次方程x^3 - 15x + 1 = 0 在【-4，4】中有三个解？

如题

2025-02-24 17:30:00

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回答1：

令f(x) = x³-15x+1
求导：
f ′(x) = 3x²-15 = 3(x+√5)(x-√5)
在区间【-4，4】
单调增区间为（-4，-√5）和（√5，4）；单调减区间（-√5，√5）
极大值f(-√5)=-5√5+15√5+1=10√5+1＞0
极小值f(√5) =5√5-15√5+1=-10√5+1＜0
f(-4)=-64+60+1=-3＜0
f(4)=64-60+1=5＞0
∴在三个区间（-4，-√5）、（-√5，√5）、（√5，4）各有一个零点存在。