什么是有界数列？怎么证明？

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

1、有界数列的定义：

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界，对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界，一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

2、有界数列的证明：

∵ 数列{Xn}是收敛的

∴ 设其极限为a

根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N

当n>N是不等式|Xn-a|N时，|Xn|=|(Xn-a)+a|

证毕。

3、有界数列示例：

（1）1，2，3，4

（2）{1/n}，n=1，2，3...

扩展资料：

1、有界数列的应用:

数列有极限的必要条件：

数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

2、函数的有界性：

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

3、函数有界性的要点：

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

参考资料来源：百度百科 - 有界数列

参考资料来源：百度百科 - 有界性

定义：若存在两个数A，B(设A
(1)如果B是数列 的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是 的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．

(2)对于数列 ，如果存在正整数N，当n>N时，总有 ,我们就说数列 往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数 在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设 ， 那么min(A，α)和max(B，β)就是整个数列 的下界和上界．

(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得 ，就称 是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点O的一个M邻域O(O，M)，使得所有 ，就称 是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．

证明数列的有界性,常用的方法是放缩法和数学归纳法。
另外画图.可以帮助你做一般题
或者根据题给出的部分条件,判断是否单调什么的.没发具体说方法.
收敛数列一定有界,但有界数列不一定有收敛