在函数的概念之前，首先人们从对事物的变化发展的观察中，抽象出来变量的概念，在数学的历史上，正是变量的出现导致代数学的发展。因为在没有变量概念的时候，人们进行算术运算，只会做到对具体的数值进行运算。每次遇到稍微不同一些的数值，都必须很费劲地重新考虑计算方法，只有在抽象出来变量的概念后，才能对一般的数值计算抽象出来一般的计算方法，从而彻底地解决数值地计算问题。而代数学正是为了发展一般的数值计算方法而发展起来的。因此可以说变量概念的出现是数学发展历史上的第一个里程碑。
自然界里的观察量都可以看成是变量，然后我们从自然界里归纳出的自然规律常常表现为变量与变量之间的依赖关系。而函数实际上就是为了表述这些变量与变量之间的依赖关系而抽象出来的数学观念。
我们常常把相互之间具有依赖关系的一些变量区分为两类，一类被称为自变量，一类被称为因变量。因此这个依赖关系就可以理解为因变量如何被自变量决定的关系。
函数从一般的依赖关系中抽象出三个要素作为函数的基本要素。首先就是依赖关系本身，也即一个或几个变量（自变量）是如何决定另一个变量（因变量）的，这种决定关系还必须是唯一的，因为我们研究的这种依赖关系总是一种具有确定性的关系。也就是说，从一些自变量的数值，能够唯一地得到另一个因变量的数值。这是函数概念里的一个关键所在。也是初学者常常犯错误的地方。
要表示一种依赖关系，可以有很多的方式。
最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数值。例如我们常用的数学用表，列车时刻表，税单，等第，这种表示方法的好处就是一目了然，能让你很快的查到你所需要的变量的值，甚至是精确的值，而无须进行另外的计算，缺点就是只能处理很有限的数值，对于可以取大量，甚至无穷的数值的变量，这种方法就不行了。另外还不能容易地让人理解变量之间地对应规律。
要想能容易地让人理解变量之间的对应规律，可以使用图示的方式。
对于一元函数y=f（x），它的变量相应地在平面上的直角坐标系的X轴和Y轴上取值，在一定条件下，就能得一个几何图象，表达了函数的数值分布。用图来表示变量之间的依赖关系，可以很直观地说明这种依赖关系的很多性质。在高等数学的学习中，我们也应该善于通过画图来培养对于抽象概念的直观能力，而初学者往往忽略这点，甚至不屑于此，这是我们应该极力避免的。图示的缺点就是不能精确地给出数值，也不能精确地表达函数的性质。
最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式。有了解析表达式，就可以对已知数值进行确定的数学计算，从而得到未知量的精确数值。更进一步，通过对解析表达式的数学分析，可以得到函数性质的精确的表达。而我们学习微积分的主要目的，就是掌握这种分析方法。
当然还可以有其他的表示函数的依赖关系的方法，总之只要能说明一个变量如何由另外的变量唯一决定就行。
表示了依赖关系之后，还必须说明其中自变量的取值范围。因为在实际问题中，有时候并不能从依赖关系本身就得到自变量的取值范围。因此还必须单独规定。这个取值范围被称为定义域。
有了自变量的取值范围，加上函数的对应关系，就可以得到因变量的取值范围，这就是函数的第三个要素，被称为值域。
总结一下，函数概念最关键的地方，就是它的对应关系，或者说依赖关系，必须是因变量由自变量唯一确定。尽管我们可以考虑一对多的多值函数，比方说解析几何里的一些曲线方程，要对它们应用微积分的方法，那种情形必须给予特别的处理，或者把它们分割为多个函数，总之为了统一地发展我们后面要讨论地微积分技术，我们总是坚持这一点为函数的必要条件。
第二点需要特别用心的地方就是根据函数关系由定义域求值域。或者是只是根据函数关系的数学表达式本身，来求出具有数学意义的定义域和值域，或者还要求具有实际意义而不只是具有数学意义的定义域和值域。这就要求我们熟练掌握各种函数的数学性质，特别是我们下面要讨论的几种基本初等函数的性质。我们将在下面结合例题更详细地讨论这点，并且希望读者多作练习。
并不是说我们需要把一个函数用某种方式给出，就可以说是已经掌握了这个函数。因为对于一个函数的了解，并不是知道了这个函数所代表的所有数值对应，就能判断这个函数的行为与性质，在实际问题当中，我们更加需要得到的是一个函数的性质，因为某种变化规律所具有的性质，往往表达了某个概念，而我们人类对于事物的了解最终是基于概念的理解，而不是一堆数据本身。 下面我们就来讨论函数所可能具有的几种性质。这几种性质都具有非常直观的意义，只需要用初等的方式就可以表达出来。
（一）函数的单调性。
从直观的感觉来看，所谓单调表明了函数在某点附近具有平滑的变化，如果把函数的自变量与因变量分别在平面上的直角坐标系的两个坐标轴上取值，得到函数的图象，就可以看到函数在某点附近的单调性，意味着函数在这点附近没有剧烈的震荡，或者这点左边的点的函数值比右边的点的函数值大，或者反过来右边的点的函数值比左边的点的函数值大。这样在一个区间内每个点都具有同样的一个性质，就可以定义这个区间的单调性。
精确地说，函数y=f（x）在区间K内的任意两点a，b，只要a
注意上面定义里的任意两个字，应该说这是一个很严格的条件。也是单调性定义里的关键所在。
设想一下，如果我们有一个函数，完全由所有的数值的对应来表达，那么要判断这个函数在一个区间内的单调性，则需要对这个区间内的所有数值顺序进行比较，显然，如果是对于一般的函数，这是非常困难的事。不过如果是用我们常见的一般的解析表达式给出的函数，通过直接对解析表达式进行比较，则是非常容易判断的。这里的关键是我们常见的一般的解析表达式给出的是变化比较平滑的函数，而如果函数的图象如下所示，则只有在极其小的区间内才有可能考虑函数的单调性。
（二）函数的有界性；
从直观的感觉来看，函数的有界性就是函数图形在某个特定范围或者是在整个定义域的上下“高度”有限。或者就说是函数在某个特定区间或者在整个定义域都不存在函数取值为正无穷大或负无穷大的点。
精确地说，就是取函数f（x）有定义的一个集合K，如果存在一个确定的正数M，无论M可能有多么大，只要对于集合K内的所有的点x，都有成立，那么就称函数f（x）在集合K上有界。
注意上面定义中函数外面的绝对值符号，这表明有界性是同时在上下加以限制的。
这个性质是非常好理解的。之所以提出这么一个性质出来，倒不是因为有界性具有什么特别的趣味，而是反过来，不具有有界性的函数常常是我们必须加以注意和分析的对象，因此我们提出函数的有界性，正是为了用于判断函数是否存在无界的性质。
从上面的定义可以看到，我们是无法直接应用这个定义来证明某个函数是否有界的，因为这是一个存在性定义，我们必须通过其他的方法，来找到这么一个M，才能得到证明，而如何找到这个M，则是这个定义所没有给出的。
另外，对于这个M，只是要求其存在性，而没有要求其唯一性，实际上，这个M不可能具备唯一性，因为只要存在一个M满足条件，由于M是一个有限大小的正数，那么任何一个比M大的数同样可以作为函数的界。
下面是用图象表示的有界性的两种典型情况：
（三）函数的奇偶性；
同样可以从图象方面得到对于奇偶性的很好的理解，就是看在某个区间内，整个函数图形是否具有对于Y轴的镜象对称或者对于原点的中心对称性。这样我们至少可以知道，首先这个函数的定义域必须是X轴上关于原点对称的。
精确地说，就是取函数有定义的一个关于原点对称的区间（-L，L），
（1） 如果对于在区间（-L，L）内任意的一点x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就是这个区间内的奇函数。
（2） 如果对于在区间（-L，L）内任意的一点x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就是这个区间内的偶函数。
我们可以看到，这个定义是与有界性的定义不同的一种定义方式，就是我们一般可以直接应用这个定义来证明某个函数的奇偶性，这种定义方式就是属于构造性的定义方式。也就是直接给出了符合定义的对于如何构造出来。在今后的学习当中，我们应该注意到这两种定义方式的差别所在。
这里我们还应该体会到在坐标系里，对函数进行反射变化实际上就是进行如下变量代换：
关于原点的中心对称变换：
关于Y轴的镜面反射变换：
而如果在这样的变换之下，函数的形式并没有变化，那么对于关于原点的中心对称变换，就是奇函数；对于Y轴的镜面反射变换，就是偶函数。
那么我们在证明某个函数是否具有奇偶性，或者是奇函数还是偶函数，就可以直接应用这个变量变换，从而得到判据。
（四）函数的周期性。
从直观上来看，就是整个函数图形是否可以通过沿着X轴，无论是朝哪个方向，平移一个有限大小的距离，得到的函数图象与原来的函数图象可以完全重合。也就是说具有沿着X轴的平移不变性质。把这个意思精确表达出来，就是周期性的定义：
对于实数上定义的函数y=f（x），如果存在一个非零的实数a，使得f（x）=f（x+a）总是成立，那么就说函数y=f（x）是实数上的周期函数，周期为a。
注意，这里a的正负无所谓，因为函数在整个X轴上定义，a为正数，只是表明函数沿着X轴向右平移a的距离，a为负数，只是表明函数沿着X轴向左平移a的距离，这两种平移方式是等价的。
可以看到，严格的平移不变性要求函数在整个X轴上都有定义，否则，进行平移必定会使得函数超出本来的定义域。不过，在某些情况下，也可以定义在有限区间内的周期性，只是这时候就不能应用这个定义了，而只能具体地规定函数有限的周期性。一般我们不考虑这样的函数。
在周期性的定义里，我们还可以看到，这个定义也是属于存在性定义，也就是说，直接从定义出发，我们无法得到具体的周期，尽管要证明一个函数的周期性，并不一定需要求出具体的周期a是多少，但无论如何，我们必须从别的地方入手来证明周期的存在性。
周期函数的一个特例是y=a，其中a是一个常数。这个函数的周期是任意的实数。 我们从函数的定义可以很自然地得到非常有意义的反函数的概念。
所谓函数无非就是自变量与因变量的数值对应，因此这种对应也可以在相反的方向上成立，即因变量的数值与自变量的数值的对应。当然，如果要想使得得到的这个新的数值对应仍然还是一个函数，就必须还满足一个条件，就是因变量的每一个数值，对应于唯一的一个自变量的数值，再把这个条件和本来的要求自变量的每一个数值，对应于因变量的唯一一个数值加起来，就得到了一个函数存在反函数的充要条件是：自变量和因变量必须一一对应。
现在我们就可以形式地表达反函数的概念如下：
对于一个函数y=f（x），如果对于每一个因变量y的值，只存在唯一的一个自变量的值和它对应，那么可以把这种从因变量到自变量的关系看成一个新的函数：x=g（y）。这个新的函数就是函数y=f（x）的反函数。
从直观上来看，就是把一个函数对直线x=y进行镜象反射所得到的函数。
注意：初学者常常在这里产生很多混乱的印象。
首先相互作为反函数的两个函数，实际上是对具有一一对应关系的两个数值集合之间所存在的关系的两种看法，也就是说，是两种不同的对应关系，而不能认为是同一个对应关系。
因此y=f（x）的反函数不能写成x=f（y），函数符号f（），表示一个特定的对应关系，那么y=f（x）与x=f（y）就只是对应关系相同，此外是完全没有任何关系的两个函数。如下图所示：
如果我们在函数y=f（x）上取一点（a，b），即有b=f（a），如果再取x=b，则得到c=f（b），我们可以看到（a，b）和（b，c）这两点，并非关于直线y=x对称，也就是说，a不等于c，即当a通过一个函数关系对应于b时，b通过相应的反函数关系并不是对应于a，要使得在这种情况下，有a=c，只有唯一的函数y=x满足这个条件。
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