13问答网 > 已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=

已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=

2025-03-09 07:42:26

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回答1：

（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有

a

3

≤1，且f′（1）=-2a≥0．
∴a≤0．
（2）依题意，f′（-

1

3

）=0，
即

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x．
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-

1

3

，x₂=3．
则当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表

x 1 （1，3） 3 （3，4） 4

f′（x） - 0 +

f（x） -6 -18 -12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（3）函数g（x）有3个零点?方程f（x）-bx=0有3个不相等的实根．
即方程x³-4x²-3x=bx有3个不等实根．
∵x=0是其中一个根，
∴只需满足方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根．
∴

?3?b≠0

16?4(?3?b)＞0

∴b＞-7且b≠-3．
故实数b的取值范围是b＞-7且b≠-3．