13问答网 > 谁会急用设X1=1 X(n+1)=1+Xn⼀1+Xn[n=1.2...3...]证明数列{Xn}收敛并求IimXn [n无群大】

谁会急用设X1=1 X(n+1)=1+Xn⼀1+Xn[n=1.2...3...]证明数列{Xn}收敛并求IimXn [n无群大】

2025-03-04 11:21:03

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回答1：

用单调有界证有极限，x1=1,x2=3/2,假设xn>x(n-1),
x(n+1)-xn=【1+xn/1+xn】
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【1-x/1+x(n-1)】=……=【xn-x(n-1)】/(1+x(n-1))*(1+xn)
所以x(n+1)>xn,xn单增序列
x1>0,x2,x3……xn显然>0，
化简xn=1+x(n-1)/(1+x(n-1)=2-1/1+a(n-1)<2,所以an有界
所以单增有上界，必有极限由单调有界准则，数列{Xn}收敛。
设极限L，由Xn+1=1+Xn/1+Xn，显然x(n+1),xn都趋向去L
有L=1+L/(1+L)===>L=根号2