为什么角平分线上的点到角的两边距离相等

这是角平分线定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

举个例子论证如下：
已知：如图，AO平分∠EOF，AB⊥OF，AC⊥OE。求证：AB=AC
证明：AO平分∠EOF

∴∠1=∠2，AB⊥OFAC⊥OE

∴∠3=∠4=90°，OA=OA

∴△AOC≌△AOB

∴AB=AC．故结论正确．

【角平分线上的点到角两边距离相等】

设O是∠BAC平分线AD上的一点，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，求证：OE=OF。

证明：

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵OE⊥AB，OF⊥AC，

∴∠AEO=∠AFO=90°，

在△AEO和△AFO中，

∵∠1=∠2，

  ∠AEO=∠AFO，

  AO=AO，

∴△AEO≌△AFO（AAS），

∴OE=OF。

角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。角平分线上的点到角的两边的距离相等，是由于角平分线与角的两边形成了相似三角形。

具体来说，考虑一个角（以顶点为中心），并取其角平分线上的一点P。连接点P与角的两边，将角分为两个相等的角。

根据几何学中的相似三角形性质，我们可以得出如下结论：

1. 三角形PAC与三角形PBC是相似三角形，因为它们有一个相等的角 APC = BPC（根据角平分线的定义），以及共同的夹角 PAC = PBC（垂直对应角）。
2. 因为相似三角形的对应边比例相等，在相似三角形PAC和PBC中，我们可以得知：PA/PB = AC/BC。

由此，可以得出PA/PB = AC/BC的关系。

换句话说，点P到角的两边的距离之比等于角的两边之间的距离之比。这就说明了角平分线上的点到角的两边距离相等的原因。

做角平分线上的点垂直于两边