13问答网 > 平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 -4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 -4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1

2025-04-28 12:03:41

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回答1：

（1）∵y=ax² -4ax+4a+c=a（x-2）² +c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax² -4ax+4a+c与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．

将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴此抛物线的解析式为：y=x² -4x+3；

（2）作△ABC的外接圆⊙E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点

为点P₁ ，点P₁ 关于x轴的对称点为点P₂ ，点P₁ ，点P₂ ，均为所求的点，如图1所示：

可知圆心E必在AB边的垂直平分线上即抛物线的对称轴直线x=2上，

∵∠AP₁ B、∠ACB都是

所对的圆周角，
∴∠AP₁ B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB，

由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2，

可得圆心E也在BC边的垂直平分线上即直线y=x上，

∴点E的坐标为：E（2，2），

由勾股定理可得出：EA=

，

∴EP₁ =EA=

，

∴点P₁ 的坐标为：P₁ （2，2+

），

由对称性得点P₂ 的坐标为：P₂ （2，-2-

），

∴符合题意的点P坐标为：P₁ （2，2+

），P₂ （2，-2-

）；

（3）如图2，由题意可知，原二次函数的解析式为y=x² -4x+3可得，所求得的函数的解析式为：

y=( x -2 ) 2 -1(x＜3)

y=(x-4 ) 2 -1(x≥3)

由函数图象可知：当y₁ =

x+n与y=（x-4）² -1有一个交点时，

x+n=（x-4）² -1，

整理得出：x² -

x+15-n=0，
则b² -4ac=

289

-4（15-n）=0，
解得：n=-

，

∴当 n＜-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象无交点；
当 n=-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有唯一的一个交点；

当y₁ =

x+n与y=（x-2）² -1有一个交点时，

x+n=（x-2）² -1，

整理得出：x² -

x+3-n=0，
则b² -4ac=

-4（3-n）=0，
解得：n=-

，

∴当 -

＜n＜-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有两个交点；
当 n=-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有三个交点；

当y₁ =

x+n过点B时，

×3+n=0，

解得：n=-

，

∴当 -

＜n＜-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有四个交点；
当 n=-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有三个交点；
当 n＞-

时，动直线 y=

x+n 与函数图象有三个交点．