解答：（Ⅰ）解：f（x）的导数f'（x）=ex-1．
令f'（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）解：因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}?P，所以对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立．
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜ex．
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜ex变形为a＜?1，
令g (x)＝?1，则g（x）的导数g′ (x)＝，
令g'（x）＞0，解得x＞1；令g'（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
实数a的取值范围是（-∞，e-1）．
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex．
令x＝?(n∈N*，i＝1，2，，n?1)，则0＜1?＜e?．∴(1?
)n＜(e?)n＝e?i（i=1，2，，n-1），
即(
)n＜e?i（i=1，2，，n-1）．∴
| n |
 |
| k＝1 |
()n＝(
)n+(
)n++(
)n+(
)n＜e?(n?1)+e?(n?2)++e?1+1．∵e?(n?1)+e?(n?2)++e?1+1＝＜＝，∴
| n |
|
| k＝1 |
()n＜．
