在平面xoy上求一点,使它到x=0.y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方和最小

解：可设所求点为（x，y），则此点到三直线的距离依次为|x|，|y|，|x+2y-16|/5^0.5，三距离平方之和为z=x^2+y^2+(x+2y-16)^2/5

|AB|*d1+|BC|*d2+|AC|*d3=2S(ABC)

而(|AB|*d1+|BC|*d2+AC*d3)^2<=(d1^2+d2^2+d3^2)(|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2)

所以(8/5,16/5)到三直线的距离平方和最小值是128/5。

令上两式都等于零，求的极值点（8/5,16/5)，有题意可知距离平方和最小的点存在，即为极值点。

按角分

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

三条直线围成的直角三角形三个顶点a(16,0),b(0,8),c(0,0),设点(x,y)到ab,bc,ac的距离分别是d1,d2,d3，有:
|ab|*d1+|bc|*d2+|ac|*d3=2s(abc)
而(|ab|*d1+|bc|*d2+ac*d3)^2所以d1^2+d2^2+d3^2>=4s^(abc)/(|ab|^2+|bc|^2+|ac|^2)=128/5
等号成立当且仅当|ab|/d1=|bc|/d2=|ac|/d3
就是40/|x+2y-16|=8/|x|=16/|y|
x=8/5,y=16/5
所以(8/5,16/5)到三直线的距离平方和最小值是128/5

三条直线围成的直角三角形三个顶点A(16,0),B(0,8),C(0,0),设点(x,y)到AB,BC,AC的距离分别是d1,d2,d3，有:
|AB|*d1+|BC|*d2+|AC|*d3=2S(ABC)
而(|AB|*d1+|BC|*d2+AC*d3)^2所以d1^2+d2^2+d3^2>=4S^(ABC)/(|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2)=128/5
等号成立当且仅当|AB|/d1=|BC|/d2=|AC|/d3
就是40/|x+2y-16|=8/|x|=16/|y|
x=8/5,y=16/5
所以(8/5,16/5)到三直线的距离平方和最小值是128/5
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