解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
，，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，
又∵∠DAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD=BC，
在△ADE和△CDN中，
|
| ∠DAE＝∠ECM |
| AD＝CD |
| ∠ADE＝∠CDN |
|
|
，
∴△ADE≌△CDN（ASA），
∴DE=DN．
